1. 本題探討二元分段函數 $f(x,y)$ 在原點的連續性與偏導數。
2. (a) 證明在 $(0,0)$ 不連續：
   • 需要說明極限 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ 不存在。
   • 我們可以選取通過原點的直線族路徑 $y = kx$（其中 $k \neq -1$）： $\lim_{x\to 0} f(x, kx) = \lim_{x\to 0} \frac{x^2(kx)}{x^3 + k^3 x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{k x^3}{x^3(1+k^3)} = \frac{k}{1+k^3}$
   • 由於此極限值隨斜率 $k$ 的不同而改變，說明極限不存在，因此函數在 $(0,0)$ 不連續。
3. (b) 求 $x^3+y^3 \neq 0$ 時的偏導數 $\frac{\partial f}{\partial x}$：
   • 對 $f(x,y) = \frac{x^2 y}{x^3+y^3}$ 關於 $x$ 求偏導，將 $y$ 視為常數並使用商求導法則： $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2xy(x^3+y^3) - x^2 y(3x^2)}{(x^3+y^3)^2} = \frac{2x^4y + 2xy^4 - 3x^4y}{(x^3+y^3)^2} = \frac{2xy^4 - x^4y}{(x^3+y^3)^2}$
4. (c) 使用偏導數定義求 $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$：
   • 根據偏導數定義： $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h, 0) - f(0,0)}{h}$
   • 由於 $f(h, 0) = \frac{h^2 \cdot 0}{h^3 + 0} = 0$，且 $f(0,0) = 0$。
   • 因此極限為 $\lim\limits_{h\to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$。
   • 所以 $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = 0$。

(a) 證明 $f$ 在 $(0, 0)$ 不連續

為了證明 $f$ 在 $(0,0)$ 不連續，我們只需證明極限 $\lim\limits_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$ 不存在。

我們考慮沿直線 $y = kx$（其中 $k \neq -1$）趨近於原點 $(0,0)$ 的路徑：

由於 $x \neq 0$，我們可以約去 $x^3$：

此極限值顯然取決於斜率 $k$ 的選擇。例如：

• 若沿 $y = x$ （即 $k=1$）趨近，極限值為 $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$。
• 若沿 $y = 0$ （即 $k=0$）趨近，極限值為 $\frac{0}{1+0} = 0$。

由於從不同的方向趨近原點時極限值不同，極限 $\lim\limits_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$ 不存在。 因此， $f$ 在 $(0, 0)$ 處不連續。 $\quad\blacksquare$

(b) 求當 $x^3 + y^3 \neq 0$ 時的偏導數 $\frac{\partial f}{\partial x}$

當 $x^3 + y^3 \neq 0$ 時，我們將 $y$ 視為常數，直接使用商的求導法則對 $x$ 求偏導：

(c) 使用定義求 $\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0)$

根據偏導數在原點的極限定義：

我們由定義式計算分子項：

• $f(0, 0) = 0$（由分段定義給出）。
• $f(h, 0)$：因為當 $h \neq 0$ 時， $h^3 + 0^3 = h^3 \neq 0$，適用第一分段式： $$f(h, 0) = \frac{h^2 \cdot 0}{h^3 + 0^3} = 0$$

將這些值代入極限定義中：

結論： 偏導數 $\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = 0$。 $\quad\blacksquare$