1. 本題求 $\lim\limits_{x\to 0^+} (\cos(2\sqrt{x}))^{2/x}$，這是一個 $1^\infty$ 型的未定式。
2. 對於 $1^\infty$ 型未定式，我們可以使用對數法將其化為 $\exp(\lim \ln f(x))$ 的形式。
3. 令 $y = (\cos(2\sqrt{x}))^{2/x}$，則其自然對數為： $\ln y = \frac{2}{x} \ln(\cos(2\sqrt{x}))$
4. 為了簡化計算，令 $u = \sqrt{x}$。當 $x \to 0^+$ 時，$u \to 0^+$。極限式變為： $\lim_{u\to 0^+} \frac{2 \ln(\cos(2u))}{u^2}$
5. 這是一個 $\frac{0}{0}$ 型未定式，可利用羅必達法則（L’Hôpital’s Rule）求導或使用泰勒展開式：
   • 使用羅必達法則： $\lim_{u\to 0^+} \frac{2 \cdot \frac{-2\sin(2u)}{\cos(2u)}}{2u} = \lim_{u\to 0^+} \frac{-2\tan(2u)}{u} = -4$
6. 因此，原極限值為 $e^{-4}$。

給定極限：

此為 $1^\infty$ 型未定式。我們考慮其對數極限，令：

為了便於求導，我們進行變數代換。令 $u = \sqrt{x}$。 當 $x \to 0^+$ 時， $u \to 0^+$，且 $x = u^2$。代入得：

當 $u \to 0^+$ 時，分子為 $2\ln(\cos(0)) = 0$，分母為 $0$，屬於 $\frac{0}{0}$ 型未定式。

我們使用羅必達法則（L’Hôpital’s Rule）對分子與分母分別求導：

由於 $\lim\limits_{u \to 0^+} \frac{\tan(2u)}{2u} = 1$，上式可直接求得：

（亦可再使用一次羅必達法則，得到相同結果： $\lim\limits_{u\to 0^+} \frac{-2 \sec^2(2u) \cdot 2}{1} = -4$）。

因此，原極限值為：

結論：

1. 填入 $\displaystyle e^{-4}$。