1. 本題探討經典函數 $f(x) = x\sin(1/x)$ 在 $x=0$ 處的連續性與可微性。
2. (a) 證明在 $x=0$ 連續：
   • 需要證明 $\lim\limits_{x\to 0} f(x) = f(0) = 0$。
   • 由於 $\sin(1/x)$ 的值域在 $[-1, 1]$ 之間，故有不等式 $-|x| \le x\sin(1/x) \le |x|$。
   • 利用夾擠定理（Squeeze Theorem），當 $x\to 0$ 時，兩端極限皆為 0，從而證明 $\lim\limits_{x\to 0} f(x) = 0$。
3. (b) 求 $x \neq 0$ 的導數：
   • 對 $x\sin(1/x)$ 使用乘積求導與連鎖律： $f'(x) = 1 \cdot \sin(1/x) + x \cdot \cos(1/x) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \sin(1/x) - \frac{1}{x}\cos(1/x)$
4. (c) 證明在 $x=0$ 不可微：
   • 根據導數定義， $f'(0) = \lim\limits_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$。
   • 代入函數值，得到極限 $\lim\limits_{x\to 0} \frac{x\sin(1/x)}{x} = \lim\limits_{x\to 0} \sin(1/x)$。
   • 由於當 $x\to 0$ 時， $\sin(1/x)$ 在 $-1$ 與 $1$ 之間無限震盪，此極限不存在。
   • 因此， $f$ 在 $x=0$ 處不可微。

(a) 證明 $f$ 在 $x = 0$ 連續

為了證明 $f$ 在 $x = 0$ 處連續，我們需要證明：

對於任何 $x \neq 0$，因為正弦函數的絕對值恆小於或等於 $1$：

我們在不等式兩邊同乘以 $|x|$：

這意即：

由於：

根據夾擠定理（Squeeze Theorem），可得：

因為 $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$，故 $f$ 在 $x = 0$ 處連續。 $\quad\blacksquare$

(b) 求 $x \neq 0$ 時的 $f'(x)$

當 $x \neq 0$ 時，我們可以使用乘積求導法則（Product Rule）與連鎖律（Chain Rule）直接對 $f(x) = x\sin(1/x)$ 求導：

(c) 證明 $f$ 在 $x = 0$ 不可微

根據導數的極限定義， $f'(0)$ 的定義為：

代入 $f(0) = 0$ 以及當 $x \neq 0$ 時的 $f(x) = x\sin(1/x)$：

當 $x \to 0$ 時，角度 $\frac{1}{x} \to \pm\infty$，使得 $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ 在 $[-1, 1]$ 區間內無限次快速震盪。例如：

• 當 $x_n = \frac{1}{2n\pi + \pi/2} \to 0$ 時， $\sin(1/x_n) = \sin(2n\pi + \pi/2) = 1$。
• 當 $y_n = \frac{1}{2n\pi - \pi/2} \to 0$ 時， $\sin(1/y_n) = \sin(2n\pi - \pi/2) = -1$。

因為當 $x \to 0$ 時函數值無法趨於單一常數，所以極限 $\lim\limits_{x \to 0} \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ 不存在。 由此可知， $f(x)$ 在 $x = 0$ 處不可微分。 $\quad\blacksquare$