1. 本題要求判斷商品 A 與商品 B 是替代商品（Substitute）、互補商品（Complementary）還是兩者皆非。
2. 考題印刷勘誤提示：
   • 題目原文寫道 “if a decrease in the demand for one results in…”，此處的 “demand” 顯然為價格 (price) 的印刷錯誤。標準經濟學定義應為：
     • 若商品 B 的價格 $q$ 上升，導致商品 A 的需求量 $x$ 增加（即 $\frac{\partial x}{\partial q} > 0$），則兩者為替代商品。
     • 若商品 B 的價格 $q$ 上升，導致商品 A 的需求量 $x$ 減少（即 $\frac{\partial x}{\partial q} < 0$），則兩者為互補商品。
3. 第一步：計算偏導數 $\frac{\partial x}{\partial q}$： $x = f(p, q) = \frac{q^2}{q + p^2}$ 將其關於 $q$ 求偏導（使用商求導法則）： $\frac{\partial x}{\partial q} = \frac{2q(q+p^2) - q^2(1)}{(q+p^2)^2} = \frac{q^2 + 2qp^2}{(q+p^2)^2}$ 由於價格 $p > 0, q > 0$，故 $\frac{\partial x}{\partial q} > 0$。
4. 第二步：計算偏導數 $\frac{\partial y}{\partial p}$： $y = g(p, q) = e^{-2q + p}$ 將其關於 $p$ 求偏導： $\frac{\partial y}{\partial p} = e^{-2q + p} \cdot 1 = e^{-2q + p}$ 由於指數函數值恆大於 0，故 $\frac{\partial y}{\partial p} > 0$。
5. 第三步：綜合判定： 因為對所有的 $p>0, q>0$，偏導數 $\frac{\partial x}{\partial q} > 0$ 且 $\frac{\partial y}{\partial p} > 0$，所以商品 A 與 B 互為替代商品 (substitute)。

根據標準微積分與經濟學定義： 設商品 A 與 B 的需求量分別為 $x = f(p, q)$ 與 $y = g(p, q)$，其中 $p$ 為商品 A 的單價，$q$ 為商品 B 的單價。

• 若 $\frac{\partial x}{\partial q} > 0$ 且 $\frac{\partial y}{\partial p} > 0$，則兩者互為替代商品 (substitute commodities)（意即商品 B 的價格上升，會使商品 A 的需求量增加）。
• 若 $\frac{\partial x}{\partial q} < 0$ 且 $\frac{\partial y}{\partial p} < 0$，則兩者互為互補商品 (complementary commodities)（意即商品 B 的價格上升，會使商品 A 的需求量減少）。

我們分別計算這兩個偏導數：

1. 計算 $\frac{\partial x}{\partial q}$

給定 $x = f(p, q) = \frac{q^2}{q + p^2}$。對 $q$ 求偏導：

使用商的求導法則：

由於單價 $p > 0$ 且 $q > 0$，故分子與分母皆為正數，得：

2. 計算 $\frac{\partial y}{\partial p}$

給定 $y = g(p, q) = e^{-2q + p}$。對 $p$ 求偏導：

因為指數函數的值恆大於零，得：

3. 結論

因為對所有的 $p > 0$ 與 $q > 0$，交叉偏導數：

這代表兩商品為替代商品 (substitute commodities)。

結論： 8. 填入 $\displaystyle \text{substitute}$。