1. 本題要求函數 $y = (\sin x)^x$ 的一階導數。
2. 該函數屬於底數與指數皆含有自變數 $x$ 的冪指函數類型，最適合使用對數微分法。
3. 第一步：兩邊取自然對數： $\ln y = \ln [(\sin x)^x] = x \ln(\sin x)$
4. 第二步：兩邊對 $x$ 求導：
   • 左側求導： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln y) = \frac{y'}{y}$。
   • 右側使用乘積求導法則： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x \ln(\sin x)] = 1 \cdot \ln(\sin x) + x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \ln(\sin x) + x \cot x$。
5. 第三步：求出 $y'$： $y' = y \left( \ln(\sin x) + x \cot x \right) = (\sin x)^x \left( \ln(\sin x) + x \cot x \right)$

給定函數為：

由於底數和指數都含有 $x$，我們對等號兩邊同時取自然對數 $\ln$：

接著，兩邊同時對 $x$ 進行隱函數求導：

右側使用乘積求導法則（Product Rule）：

因此：

兩邊同乘以 $y$：

將 $y = (\sin x)^x$ 代回：

結論： 6. 填入 $\displaystyle (\sin x)^x ( \ln(\sin x) + x \cot x )$。