1. 本題要求由曲線 $y = \ln x$、直線 $y = 0$（即 $x$ 軸）及 $x = e$ 圍成的區域，繞 $x$ 軸旋轉一周所產生的旋轉體體積。
2. 該區域的 $x$ 範圍為：從 $y = \ln x$ 與 $y = 0$ 的交點 $x = 1$ 開始，到 $x = e$ 結束，即 $x \in [1, e]$。
3. 旋轉體體積公式（繞 $x$ 軸旋轉，圓盤法）： $V = \int_a^b \pi [f(x)]^2 \,\mathrm{d}x = \pi \int_1^e (\ln x)^2 \,\mathrm{d}x$
4. 計算 $\int (\ln x)^2 \,\mathrm{d}x$： 我們使用分部積分法（Integration by Parts）： 令 $u = (\ln x)^2$，$\mathrm{d}v = \mathrm{d}x \implies \mathrm{d}u = \frac{2\ln x}{x}\,\mathrm{d}x$，$v = x$。 $\int (\ln x)^2 \,\mathrm{d}x = x(\ln x)^2 - 2\int \ln x \,\mathrm{d}x$ 再對 $\int \ln x \,\mathrm{d}x$ 進行一次分部積分，得 $x\ln x - x$。 因此： $\int (\ln x)^2 \,\mathrm{d}x = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C$
5. 代入上下限 $1$ 與 $e$ 求解體積。

旋轉區域由 $y = \ln x$， $y = 0$（$x$ 軸）以及 $x = e$ 圍成。 首先求 $y = \ln x$ 與 $y = 0$ 的交點：

因此，積分的區間為 $x \in [1, e]$。

我們使用圓盤法（Disk Method）計算繞 $x$ 軸旋轉的體積 $V$：

為了求出不定積分 $\int (\ln x)^2 \,\mathrm{d}x$，我們使用分部積分法。令：

根據分部積分公式 $\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u$：

再對 $\int \ln x \,\mathrm{d}x$ 使用一次分部積分： 令 $u_1 = \ln x \implies \mathrm{d}u_1 = \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$； $\mathrm{d}v_1 = \mathrm{d}x \implies v_1 = x$。

代回原式可得：

現在代入積分上下限 $1$ 到 $e$：

由於 $\ln e = 1$ 且 $\ln 1 = 0$：

因此，旋轉體體積為：

結論： 5. 填入 $\displaystyle \pi(e - 2)$。