1. 本題要計算二重積分 $I = \int_0^8 \int_{\sqrt[3]{x}}^2 \frac{1}{y^4+1} \,\mathrm{d}y\mathrm{d}x$。
2. 由於內層被積函數為 $\frac{1}{y^4+1}$，其關於 $y$ 的不定積分非常複雜且難以直接求出。這提示我們需要交換積分順序，先對 $x$ 進行積分。
3. 第一步：確定積分區域 $D$：
   • 原積分範圍： $0 \le x \le 8$ 且 $\sqrt[3]{x} \le y \le 2$。
   • 下邊界為曲線 $y = \sqrt[3]{x}$（即 $x = y^3$），上邊界為水平線 $y = 2$。
   • 左邊界為 $x = 0$，右邊界交點為 $(8, 2)$。
4. 第二步：重寫積分區域（以 $y$ 為外層）：
   • $y$ 的投影區間為 $[0, 2]$。
   • 對於每個固定的 $y$， $x$ 的範圍是從左側邊界 $x=0$ 到右側曲線 $x = y^3$。
   • 因此新區域表示為： $D = \{ (x, y) \mid 0 \le y \le 2, \ 0 \le x \le y^3 \}$。
5. 第三步：寫出新積分式並求解： $I = \int_0^2 \int_0^{y^3} \frac{1}{y^4+1} \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 內層積分直接為 $\frac{y^3}{y^4+1}$，外層使用簡單的代換 $u = y^4+1$ 即可求解。

給定二重積分為：

此積分區域 $D$ 可表示為：

下邊界曲線為 $y = \sqrt[3]{x}$，這等價於 $x = y^3$；上邊界為 $y = 2$。 當 $x = 0$ 時， $y = 0$；當 $x = 8$ 時， $y = 2$。 因此，若將積分順序交換，改為先對 $x$ 積分，再對 $y$ 積分，則 $y$ 的範圍為 $0$ 到 $2$，而對應的 $x$ 範圍為 $0$ 到 $y^3$：

將積分式改寫為：

先計算內層關於 $x$ 的積分：

代回外層積分：

令 $u = y^4 + 1 \implies \mathrm{d}u = 4y^3\,\mathrm{d}y \implies y^3\,\mathrm{d}y = \frac{1}{4}\mathrm{d}u$。 變更積分上下限：

• 當 $y = 0 \implies u = 1$
• 當 $y = 2 \implies u = 2^4 + 1 = 17$

代入得：

結論： 4. 填入 $\displaystyle \frac{1}{4} \ln 17$。