1. 本題求定積分 $\int_{-1}^4 \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{|x|}}$。
2. 被積函數在 $x = 0$ 處無定義且趨近於無窮大，因此這是一個瑕積分（Improper Integral），且 $x=0$ 為瑕點。
3. 我們必須將積分區間以 $x=0$ 為界分割為兩部分： $\int_{-1}^4 \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{|x|}} = \int_{-1}^0 \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{-x}} + \int_0^4 \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}$
4. 第一部分 $\int_{-1}^0 \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{-x}}$：
   • 定義為 $\lim\limits_{t\to 0^-} \int_{-1}^t (-x)^{-1/2} \,\mathrm{d}x$。
   • 其原函數為 $-2\sqrt{-x}$。代入限值計算。
5. 第二部分 $\int_0^4 \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}$：
   • 定義為 $\lim\limits_{s\to 0^+} \int_s^4 x^{-1/2} \,\mathrm{d}x$。
   • 其原函數為 $2\sqrt{x}$。代入限值計算。
6. 將兩部分的值相加即為所求。

給定積分為：

由於被積函數 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{|x|}}$ 在 $x = 0$ 處趨於無窮大，故 $x=0$ 為積分區間 $[-1, 4]$ 內的瑕點。我們將其拆分為兩個瑕積分計算：

第一部分 $I_1$

當 $x \in [-1, 0)$ 時， $|x| = -x$。因此：

利用微積分基本定理，其原函數為 $-2\sqrt{-x}$：

第二部分 $I_2$

當 $x \in (0, 4]$ 時， $|x| = x$。因此：

其原函數為 $2\sqrt{x}$：

總和

將兩部分相加：

結論： 3. 填入 $\displaystyle 6$。