1. 本題要求函數 $y = x \sin x$ 的 2023 階導數。
2. 對於兩個函數乘積的高階求導，最直接的方法是使用萊布尼茲乘積求導法則（Leibniz Rule）： $(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$
3. 令 $u(x) = x$，$v(x) = \sin x$，階數 $n = 2023$：
   • 由於 $u(x) = x$ 的高階導數在二階以上皆為 0（即 $u'=1$，$u''=u'''=\cdots=0$），因此在萊布尼茲求導展開式中，只有 $k=2023$ 與 $k=2022$ 兩項不為 0。
4. 第一步：寫出展開式： $D^{2023}(x \sin x) = \binom{2023}{0} x \cdot D^{2023}(\sin x) + \binom{2023}{1} 1 \cdot D^{2022}(\sin x)$ $= x \cdot D^{2023}(\sin x) + 2023 \cdot D^{2022}(\sin x)$
5. 第二步：求正弦函數的高階導數：
   • 我們知道正弦函數的導數規律為： $D^n(\sin x) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$
   • 對於 $n = 2022$： $D^{2022}(\sin x) = D^{2 \cdot 1011}(\sin x) = (-1)^{1011} \sin x = -\sin x$
   • 對於 $n = 2023$： $D^{2023}(\sin x) = D^{2 \cdot 1011 + 1}(\sin x) = (-1)^{1011} \cos x = -\cos x$
6. 將結果代回原展開式即可求得答案。

我們使用萊布尼茲法則（Leibniz’s Rule）來計算乘積的高階導數。設：

萊布尼茲公式為：

我們計算 $u(x) = x$ 的各階導數：

因此，當 $n = 2023$ 時，級數展開式中僅剩 $k=0$ 和 $k=1$ 兩項不為零：

接著，我們計算正弦函數 $\sin x$ 的高階導數規律：

一般規律為每四階循環一次，或者表示為：

對於 $n = 2022$：

所以其導數與二階導數相同：

對於 $n = 2023$：

所以其導數與三階導數相同：

代回原式：

結論： 2. 填入 $\displaystyle -x \cos x - 2023 \sin x$。