1. 本題是一個經典的 Cobb-Douglas 生產函數最大化問題，屬於約束條件下的極值問題。
2. 目標函數（生產量）： $f(x, y) = 100 x^{3/4} y^{1/4}$
3. 約束條件（預算限制）： 每單位勞動成本 $200，每單位資本成本 $300，總預算 $60,000。 $g(x, y) = 200x + 300y = 60000 \implies 2x + 3y = 600 \quad (x > 0, y > 0)$
4. 拉格朗日乘子法方程式： $\nabla f(x, y) = \lambda \nabla g(x, y)$ 對應偏導方程式：
   • $f_x = 75 x^{-1/4} y^{1/4} = 200\lambda$
   • $f_y = 25 x^{3/4} y^{-3/4} = 300\lambda$
5. 消去 $\lambda$ 求解關係式： 將上述二式相除： $\frac{75 x^{-1/4} y^{1/4}}{25 x^{3/4} y^{-3/4}} = \frac{200}{300}$ $3 \frac{y}{x} = \frac{2}{3} \implies 9y = 2x$
6. 帶回約束條件： 代入 $2x = 9y$ 至 $2x + 3y = 600$ 中： $9y + 3y = 600 \implies 12y = 600 \implies y = 50$ 由此求得 $x = 225$。
7. 因此，最大產量在 $x = 225$ 且 $y = 50$ 時達到。

本題為約束條件下的極值問題。我們希望最大化生產函數：

受限於預算約束條件（每單位勞動 $x$ 成本 $200，每單位資本 $y$ 成本 $300，總預算 $60,000）：

我們可以將約束條件同除以 100，簡化為：

使用拉格朗日乘子法 (Lagrange Multipliers)

設拉格朗日函數為：

分別對 $x$、 $y$ 與 $\lambda$ 求偏導數，並令其為 0：

1. $\displaystyle \frac{\partial L}{\partial x} = 100 \cdot \frac{3}{4} x^{-\frac{1}{4}} y^{\frac{1}{4}} - 2\lambda = 0 \implies 75 x^{-\frac{1}{4}} y^{\frac{1}{4}} = 2\lambda$ (式 1)
2. $\displaystyle \frac{\partial L}{\partial y} = 100 \cdot \frac{1}{4} x^{\frac{3}{4}} y^{-\frac{3}{4}} - 3\lambda = 0 \implies 25 x^{\frac{3}{4}} y^{-\frac{3}{4}} = 3\lambda$ (式 2)
3. $\displaystyle \frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(2x + 3y - 600) = 0 \implies 2x + 3y = 600$ (式 3)

將 (式 1) 除以 (式 2) 以消去 $\lambda$：

化簡左側分式：

兩邊同乘以 $x$：

求解勞動 $x$ 與資本 $y$

將 $2x = 9y$ 代入 (式 3) 的約束條件：

將 $y = 50$ 代回 $2x = 9y$：

驗證最大值

由於生產區域 $x > 0, y > 0$ 且預算線為封閉線段（在第一卦限內），邊界點（如 $x=0$ 或 $y=0$）的生產量皆為 $f(0, y) = f(x, 0) = 0$，而在此處內部臨界點的生產值為：

故此點必定為全域最大值點。

結論： 為了使生產量最大化，應使用 225 單位 的勞動 (labor) 與 50 單位 的資本 (capital)。