1. 本題包含兩小題：級數的積分審斂法應用與冪級數絕對收斂區間的求解。
2. (a) 積分審斂法判定 $\sum \frac{n}{n^2+4}$：
   • 令 $f(x) = \frac{x}{x^2+4}$。
   • 我們必須先驗證 $f(x)$ 於 $x \ge 1$ 滿足三個條件：連續、正值、遞減。
   • 計算 $f'(x) = \frac{4-x^2}{(x^2+4)^2}$，可知當 $x > 2$ 時 $f'(x) < 0$，故函數在 $[2, \infty)$ 遞減（這已足夠適用積分審斂法）。
   • 計算瑕積分 $\int_1^\infty \frac{x}{x^2+4} \,\mathrm{d}x = \lim\limits_{t\to\infty} \left[ \frac{1}{2}\ln(x^2+4) \right]_1^t = \infty$，故瑕積分發散。
   • 依積分審斂法，級數發散。
3. (b) 求 $\sum (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(x-3)^n$ 的絕對收斂範圍：
   • 令 $a_n = (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(x-3)^n$。
   • 為了分析絕對收斂，我們應用比值審斂法（Ratio Test）： $\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} \right| |x-3|$ 其中 $\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}}{\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}} = \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}} \to 1$。
   • 因此比值極限為 $|x-3|$。
   • 由比值審斂法，級數絕對收斂的條件為 $|x-3| < 1 \implies 2 < x < 4$。
   • 由於題目僅詢問「絕對收斂」（converges absolutely），故不需要包含條件收斂的端點。
   • 驗證端點：
     • $x=4$ 時級數為 $\sum (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$，部分和為 $\sqrt{N+1}-1 \to \infty$，發散。
     • $x=2$ 時級數為 $\sum (-1)^n (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$，其絕對值級數同樣發散。
   • 因此絕對收斂的 $x$ 範圍為 $(2, 4)$。

(a) 使用積分審斂法判定級數的斂散性

我們考慮級數：

設對應的實函數為：

我們首先驗證積分審斂法（Integral Test）的適用條件：

1. 連續性： $f(x)$ 於 $x \ge 1$ 顯然連續。
2. 正值性：對所有 $x \ge 1$， $f(x) > 0$。
3. 單調性（遞減）：我們求 $f(x)$ 的一階導數： $$f'(x) = \frac{(1)(x^2 + 4) - (x)(2x)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^2}$$ 當 $x > 2$ 時， $f'(x) < 0$，這表示當 $x \ge 2$ 時， $f(x)$ 是單調遞減的。

因為當 $n \to \infty$ 時的尾部行為決定了級數的斂散性，所以在有限項後的遞減性已足夠適用積分審斂法。

我們計算對應的瑕積分：

令 $u = x^2 + 4 \implies \mathrm{d}u = 2x\,\mathrm{d}x \implies x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}u$。則：

因此：

由於瑕積分發散，依據積分審斂法，級數 $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{n^2 + 4}$ 發散。

(b) 求解級數絕對收斂的 $x$ 值範圍

考慮級數：

令級數通項為 $a_n = (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(x - 3)^n$。我們使用比值審斂法（Ratio Test）來分析絕對收斂性：

我們化簡係數部分。將分子與分母分別有理化（同乘以共軛項）：

代回極限式：

因此：

根據比值審斂法：

• 當 $|x - 3| < 1$ 時，級數絕對收斂。
• 當 $|x - 3| > 1$ 時，級數發散。

由 $|x - 3| < 1$ 解得絕對收斂的區間內部：

我們必須特別檢查端點處是否為「絕對收斂」：

1. 當 $x = 4$ 時： 級數成為 $\sum\limits_{n=1}^\infty (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$。其部分和為： $$S_N = \sum_{n=1}^N (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{N+1}-\sqrt{N}) = \sqrt{N+1} - 1$$ 當 $N \to \infty$ 時， $S_N \to \infty$，故級數發散，此處非絕對收斂。
2. 當 $x = 2$ 時： 級數成為 $\sum\limits_{n=1}^\infty (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(-1)^n$。 其各項絕對值組成的級數為 $\sum\limits_{n=1}^\infty (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$，如上所述此級數發散。因此，在 $x = 2$ 處級數非絕對收斂（僅為條件收斂）。

綜合上述，使級數絕對收斂的所有 $x$ 值範圍為：