1. 本題求 $\lim\limits_{x\to 0^+} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x-1}\right)$，這是一個 $\infty - \infty$ 型的未定式。
2. 我們可以先將分式通分，化為 $\frac{e^x - 1 - x}{x(e^x - 1)}$，這是一個 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
3. 利用泰勒級數（Taylor Series）將 $e^x$ 在 $x=0$ 附近展開： $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3)$
4. 代入分子與分母：
   • 分子： $e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
   • 分母： $x(e^x - 1) = x \left( x + \frac{x^2}{2} + o(x^2) \right) = x^2 + \frac{x^3}{2} + o(x^3)$
5. 將分子與分母同除以 $x^2$，再令 $x \to 0^+$ 即可得到極限值。

給定極限：

將兩分式通分，化為單一分式：

此時，當 $x \to 0^+$ 時，分子 $e^0 - 1 - 0 = 0$，分母 $0(e^0 - 1) = 0$，屬於 $\frac{0}{0}$ 型未定式。

我們利用 $e^x$ 的泰勒級數展開式：

將其代入分子：

將其代入分母：

因此，極限式可以寫為：

分子與分母同除以 $x^2$：

解法二：羅必達法則（L’Hôpital’s Rule）

同樣先通分為：

對分子與分母分別關於 $x$ 求導（第一次使用羅必達法則）：

當 $x \to 0^+$ 時，分子為 $0$，分母為 $0$，仍為 $\frac{0}{0}$ 型。再次對分子分母求導（第二次使用羅必達法則）：

代入 $x = 0$：

結論：

1. 填入 $\displaystyle \frac{1}{2}$。