題目

Problem

Find the Taylor polynomials of orders 2 generated by $f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2}, & \text{if } x \neq 0 \\ 0, & \text{if } x = 0 \end{cases}$ at $a = 0$ . (12 points)

解答

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二階泰勒多項式公式為： $T_2(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2$
已知 $f(0) = 0$ 。
對於 $x \neq 0$ ， $f'(x) = \frac{2}{x^3}e^{-1/x^2}$ 。
由於此函數在原點為非解析函數的經典反例，我們不能直接對 $f'(x)$ 代入 $x=0$ ，必須使用導數之極限定義式求解 $f'(0)$ 與 $f''(0)$ 。

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二階泰勒多項式定義為：

T_2(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2

根據一階導數定義式：

f'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x\to 0} \frac{e^{-1/x^2} - 0}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{e^{-1/x^2}}{x}

令 $t = \frac{1}{|x|} \implies \text{當 } x \to 0 \text{ 時 } t \to \infty$ ：

\lim_{x\to 0} \left| \frac{e^{-1/x^2}}{x} \right| = \lim_{t\to\infty} \frac{t}{e^{t^2}}

由於指數函數在無窮遠處的增長速度遠大於多項式，可知：

\lim_{t\to\infty} \frac{t}{e^{t^2}} = 0 \implies f'(0) = 0

首先寫出當 $x \neq 0$ 時的一階導函數：

f'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( e^{-1/x^2} \right) = e^{-1/x^2} \left( \frac{2}{x^3} \right)

根據二階導數定義式：

f''(0) = \lim_{x\to 0} \frac{f'(x) - f'(0)}{x - 0} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{2}{x^3}e^{-1/x^2} - 0}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{2 e^{-1/x^2}}{x^4}

令 $t = \frac{1}{x^2} \implies \text{當 } x \to 0 \text{ 時 } t \to \infty$ ，上式可改寫為：

\lim_{t\to\infty} \frac{2t^2}{e^t}

當 $t \to \infty$ 時為 $\frac{\infty}{\infty}$ 型。連續使用兩次羅必達法則：

\lim_{t\to\infty} \frac{2t^2}{e^t} \stackrel{\text{L.H.}}{=} \lim_{t\to\infty} \frac{4t}{e^t} \stackrel{\text{L.H.}}{=} \lim_{t\to\infty} \frac{4}{e^t} = 0 \implies f''(0) = 0

將 $f(0) = 0, f'(0) = 0, f''(0) = 0$ 代入：

T_2(x) = 0 + 0 \cdot x + \frac{0}{2} x^2 = \boxed{0}