1. 目標函數： $T(x, y, z) = 8x^2 + 4yz - 16z + 600$。
2. 限制條件： $g(x, y, z) = 4x^2 + y^2 + 4z^2 - 16 = 0$。
3. 拉格朗日乘子法：建立方程組 $\nabla T = \lambda \nabla g$。
4. 求解變數，分 $x=0$ 與 $x \neq 0$ 兩情況討論，求出所有候選點並比較溫度。

第一步：計算梯度並建立方程組

計算溫度函數與約束函數的梯度：

由拉格朗日乘子法方程組 $\nabla T = \lambda \nabla g$：

1. $16x = 8\lambda x \implies 8x(2 - \lambda) = 0$
2. $4z = 2\lambda y \implies 2z = \lambda y$
3. $4y - 16 = 8\lambda z \implies y - 4 = 2\lambda z$
4. $4x^2 + y^2 + 4z^2 = 16$

由方程式 (1) 可知，必有兩種情況： $\lambda = 2$ 或 $x = 0$。

第二步：分情況求解候選點

情況一： $\lambda = 2$ (此時 $x \neq 0$)

代入方程 (2) 與 (3)：

由於 $z = y$，故 $z = -\frac{4}{3}$。 將 $y = z = -\frac{4}{3}$ 代入約束條件 (4)：

獲得兩個候選點：

情況二： $x = 0$

代入約束條件 (4) 中：

由方程 (2) 與 (3)，因為 $y, z \neq 0$（否則與約束條件矛盾），消去 $\lambda$：

結合兩式：

• 當 $y = 4 \implies 4z^2 = 0 \implies z = 0$。 獲得候選點： $P_3 = (0, 4, 0)$。
• 當 $y = -2 \implies 4z^2 = 12 \implies z = \pm\sqrt{3}$。 獲得候選點： $P_4 = (0, -2, \sqrt{3})$ 與 $P_5 = (0, -2, -\sqrt{3})$。

第三步：比較各候選點之溫度值

• 對於 $P_3(0, 4, 0)$：

  $$T(0, 4, 0) = 600$$

• 對於 $P_4(0, -2, \sqrt{3})$：

  $$T(0, -2, \sqrt{3}) = 4(-2)(\sqrt{3}) - 16\sqrt{3} + 600 = 600 - 24\sqrt{3} \approx 558.4$$

• 對於 $P_5(0, -2, -\sqrt{3})$：

  $$T(0, -2, -\sqrt{3}) = 4(-2)(-\sqrt{3}) - 16(-\sqrt{3}) + 600 = 600 + 24\sqrt{3} \approx 641.6$$

• 對於 $P_1, P_2\left( \pm\frac{4}{3}, -\frac{4}{3}, -\frac{4}{3} \right)$：

  $$T = 8\left(\frac{16}{9}\right) + 4\left(-\frac{4}{3}\right)\left(-\frac{4}{3}\right) - 16\left(-\frac{4}{3}\right) + 600 = \frac{128}{9} + \frac{64}{9} + \frac{64}{3} + 600 = \frac{384}{9} + 600 = \frac{128}{3} + 600 = \frac{1928}{3} \approx 642.7$$

比較可知，最熱的溫度為 $\frac{1928}{3}$，發生在 $\left( \pm\frac{4}{3}, -\frac{4}{3}, -\frac{4}{3} \right)$。

故最熱的點為 $\boxed{\left( \pm\frac{4}{3}, -\frac{4}{3}, -\frac{4}{3} \right)}$。