1. 已知 $F(x)$ 為 $f(x) = \frac{\cos x}{x}$ 的反導函數，即 $F'(x) = \frac{\cos x}{x}$。
2. 對於待求定積分 $\int_1^3 \frac{\cos 3x}{x}\,\mathrm{d}x$，為湊出 $\frac{\cos u}{u}$ 的結構，進行變數代換： 令 $u = 3x \implies x = \frac{u}{3}$，且 $\mathrm{d}u = 3\,\mathrm{d}x$。
3. 轉換積分限：當 $x=1 \implies u=3$；當 $x=3 \implies u=9$。
4. 代回變數，利用微積分基本定理將結果以 $F(9) - F(3)$ 表示。

考慮定積分：

使用變數代換，令 $u = 3x \implies x = \frac{u}{3}$，且 $\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\,\mathrm{d}u$。 積分限轉換：

• 當 $x = 1 \implies u = 3$。
• 當 $x = 3 \implies u = 9$。

代入積分式中：

因為 $F(u)$ 是 $\frac{\cos u}{u}$ 的反導函數，根據微積分基本定理：

1. 我們不顯式寫出變數 $u$ 的代換方程式，而是直接在微元上進行恆等形變。
2. 將被積函數與微元 $\mathrm{d}x$ 同時乘以 3，得到： $\frac{\cos 3x}{x} \,\mathrm{d}x = \frac{\cos 3x}{3x} \,\mathrm{d}(3x)$
3. 此時被積形式與已知反導函數完全一致，隨後代入對應的上限與下限直接求值。

我們將定積分的自變數部分與微元配對整理：

此時，被積函數的形式為 $\frac{\cos(\square)}{\square}\,\mathrm{d}(\square)$。 由於 $\frac{\cos t}{t}$ 的反導函數為 $F(t)$，且當 $x$ 自 $1$ 變動到 $3$ 時，引數 $3x$ 自 $3$ 變動到 $9$。 因此直接得出：