題目

Problem

4. Evaluate the iterated integral $\int_0^1 \int_x^1 \sin(y^2)\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x$ .

解答

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原積分區域為：

D = \{ (x, y) : 0 \le x \le 1, x \le y \le 1 \}

其邊界為 $y=x$ 、 $y=1$ 與 $x=0$ 的三角形區域。我們將其改寫為以 $y$ 為外層積分限的區域表示：

D = \{ (x, y) : 0 \le y \le 1, 0 \le x \le y \}

交換積分順序後：

\begin{align*} I =&\, \int_0^1 \int_0^y \sin(y^2)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\[4mm] =&\, \int_0^1 \sin(y^2) \left( \int_0^y 1\,\mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y \\[4mm] =&\, \int_0^1 y \sin(y^2)\,\mathrm{d}y \end{align*}

使用代換積分法，令 $u = y^2 \implies \mathrm{d}u = 2y\,\mathrm{d}y \implies y\,\mathrm{d}y = \frac{1}{2}\,\mathrm{d}u$ 。

代回積分中計算：

I = \int_0^1 \sin u \left( \frac{1}{2}\,\mathrm{d}u \right) = \frac{1}{2} \left[ -\cos u \right]_0^1 = \boxed{\frac{1}{2} (1 - \cos 1)}