1. 此為有理函數積分。由於分子與分母的最高次項皆為 2 次，先進行多項式除法： $\frac{4x^2 - 3x + 2}{4x^2 - 4x + 3} = 1 + \frac{x - 1}{4x^2 - 4x + 3}$
2. 將餘式項拆分。分母為二次不可約多項式，其導數為 $8x-4$。 將分子湊成包含分母導數的項： $x - 1 = \frac{1}{8}(8x - 4) - \frac{1}{2}$
3. 拆開為兩項積分：
   • 第一項： $\frac{1}{8} \int \frac{8x-4}{4x^2-4x+3}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{8}\ln(4x^2-4x+3)$。
   • 第二項：將分母配方，使用對應的 $\tan^{-1}$ 三角反函數公式求解。

第一步：多項式除法與化簡

第二步：分子拆分與湊導數

觀察分母的微分為：

將分子 $x-1$ 改寫為含有 $8x-4$ 的形式：

則待求積分項可拆為：

• 第一項積分：

  $$\frac{1}{8} \int \frac{8x - 4}{4x^2 - 4x + 3}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{8}\ln(4x^2 - 4x + 3)$$

• 第二項積分（將分母配方）：

  $$4x^2 - 4x + 3 = (2x - 1)^2 + 2 = (2x - 1)^2 + (\sqrt{2})^2$$

  令 $u = 2x-1 \implies \mathrm{d}u = 2\,\mathrm{d}x \implies \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\,\mathrm{d}u$：

  $$\begin{align*} \frac{1}{2} \int \frac{1}{4x^2 - 4x + 3}\,\mathrm{d}x =&\, \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2 + (\sqrt{2})^2} \cdot \frac{1}{2}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^2 + (\sqrt{2})^2}\,\mathrm{d}u \\[4mm] =&\, \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{8} \tan^{-1}\left(\frac{2x - 1}{\sqrt{2}}\right) \end{align*}$$

第三步：合併所有項

1. 由於分母 $4x^2-4x+3 = (2x-1)^2+2$ 含有 $(2x-1)$ 的配方結構，我們可先進行線性代換：令 $u = 2x-1$。
2. 藉由 $x = \frac{u+1}{2}$ 將分子與分母完全轉化為 $u$ 的代數式。
3. 此時被積函數可分項化簡，避免在原自變數 $x$ 之下進行複雜的湊項計算。

令 $u = 2x - 1 \implies x = \frac{u+1}{2} \implies \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\,\mathrm{d}u$。

將分子與分母以 $u$ 表達：

• 分母： $4x^2 - 4x + 3 = (2x-1)^2 + 2 = u^2 + 2$

• 分子：

  $$4x^2 - 3x + 2 = 4\left(\frac{u+1}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{u+1}{2}\right) + 2 = (u^2 + 2u + 1) - \frac{3}{2}(u+1) + 2 = u^2 + \frac{1}{2}u + \frac{3}{2}$$

將變數代入積分式：

將 $u = 2x-1$ 代回：

合併常數項 $-\frac{1}{2} + C_0$ 為新的積分常數 $C$：