題目

Problem

2. Find the volume of the smaller region cut from the solid sphere $\rho \le 2$ by the plane $z = 1$ .

解答

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給定球體半徑 $R = 2$ ，切割平面為 $z=1$ 。球帽的高度 $h$ 為：

h = R - z = 2 - 1 = 1

代入球帽體積公式：

V = \pi h^2 \left( R - \frac{h}{3} \right) = \pi (1^2) \left( 2 - \frac{1}{3} \right) = \boxed{\frac{5}{3}\pi}

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此立體可視為曲線 $x^2 + z^2 = 4 \implies x = \sqrt{4-z^2}$ 繞 $z$ 軸旋轉，自 $z = 1$ 至 $z = 2$ 形成的旋轉體體積。
利用圓片法（Disk method）公式： $V = \int_a^b \pi [r(z)]^2\,\mathrm{d}z = \int_1^2 \pi (4-z^2)\,\mathrm{d}z$

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考慮在 $z$ 軸方向的圓片切片。在高度 $z$ 處，切面圓的半徑滿足：

r(z) = \sqrt{4 - z^2}

其面積為：

A(z) = \pi [r(z)]^2 = \pi (4 - z^2)

積體體積為自 $z=1$ 至球頂 $z=2$ 的定積分：

\begin{align*} V =&\, \int_1^2 \pi (4 - z^2)\,\mathrm{d}z \\[4mm] =&\, \pi \left[ 4z - \frac{z^3}{3} \right]_1^2 \\[4mm] =&\, \pi \left[ \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( 4 - \frac{1}{3} \right) \right] \\[4mm] =&\, \pi \left( \frac{16}{3} - \frac{11}{3} \right) = \boxed{\frac{5}{3}\pi} \end{align*}