1. 考慮沿 $y$ 軸（即直線 $x = 0$）趨近於原點 $(0, 0)$。
2. 此時函數簡化為 $\frac{\sin(-y)}{|y|} = -\frac{\sin y}{|y|}$。
3. 藉由討論 $y \to 0^+$ 與 $y \to 0^-$ 的單邊極限，若在此單一座標軸上的單邊極限皆不相等，則原雙變數極限必然不存在。

考慮沿著直線 $x = 0$ 趨近原點 $(0, 0)$，此時點的坐標為 $(0, y)$，其中 $y \neq 0$ 且 $y \to 0$。 將其代入函數式：

對此單變數函數在 $y \to 0$ 處求左右極限：

• 當 $y \to 0^+$ （此時 $y > 0 \implies |y| = y$）：

  $$\lim_{y\to 0^+} f(0, y) = \lim_{y\to 0^+} \frac{- \sin y}{y} = -1 \cdot \lim_{y\to 0^+} \frac{\sin y}{y} = -1$$

• 當 $y \to 0^-$ （此時 $y < 0 \implies |y| = -y$）：

  $$\lim_{y\to 0^-} f(0, y) = \lim_{y\to 0^-} \frac{- \sin y}{-y} = \lim_{y\to 0^-} \frac{\sin y}{y} = 1$$

因為沿著直線 $x = 0$ 趨近原點時，從不同方向（正向與負向）得到的單邊極限不相等（$-1 \neq 1$）。 這說明在此路徑上的極限本身即不存在，故原雙變數極限必不存在。

1. 考慮沿著通過原點的射線 $y = kx$（在第一象限，即 $x > 0$ 且 $x \to 0^+$）趨近於原點 $(0, 0)$。
2. 代入 $y = kx$ 後，消去 $x$ 並利用基本極限 $\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$。
3. 觀察所得到的極限值是否隨斜率 $k$ 的選擇不同而改變。若極限值與 $k$ 相關，則雙變數極限不存在。

我們考慮沿著直線路徑 $y = kx$（其中 $k \ge 0$ 為常數）自第一象限趨近於原點，即令 $x \to 0^+$：

當 $x \to 0^+$ 時，計算此路徑的極限：

• 若選取 $k = 0$（沿 $x$ 軸正半軸），極限值為：

  $$\frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$$

• 若選取 $k = 2$（沿直線 $y = 2x$），極限值為：

  $$\frac{1 - 2}{1 + 2} = -\frac{1}{3}$$

因為沿著斜率不同的直線路徑趨近原點得到了不同的極限值（$1 \neq -\frac{1}{3}$），故原雙變數極限不存在。