1. 給定極限點為 $(1, 0)$，此極限在直觀代入時為 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
2. 為了判定極限是否存在，我們嘗試沿著不同的路徑（趨近 $(1,0)$ 的直線或曲線）逼近該點。
3. 第一條路徑：沿著直線 $x = 1$。此時點為 $(1, y)$，當 $y \to 0$ 時，極限可用單變數的羅必達法則計算。
4. 第二條路徑：沿著直線 $x = 0$。此時點為 $(0, y)$，當 $y \to 0$ 時直接求得極限。
5. 比較這兩條不同路徑的極限值，若不相等則原雙變數極限不存在。

考慮函數 $f(x, y) = \frac{xe^y - 1}{xe^y - 1 + y}$。

• 路徑一：沿著直線 $x = 1$ 趨近於 $(1, 0)$。 此時自變數為 $(1, y)$ 且 $y \to 0$。代入函數式：

  $$\lim_{y\to 0} f(1, y) = \lim_{y\to 0} \frac{e^y - 1}{e^y - 1 + y}$$

  由於此時為 $\frac{0}{0}$ 型，利用單變數的羅必達法則（L’Hôpital’s Rule）：

  $$\lim_{y\to 0} \frac{e^y - 1}{e^y - 1 + y} \stackrel{\text{L.H.}}{=} \lim_{y\to 0} \frac{e^y}{e^y + 1} = \frac{e^0}{e^0 + 1} = \frac{1}{2}$$

• 路徑二：沿著直線 $x = 0$ 趨近於 $(1, 0)$ 的平行線（或直接取 $x = 0$ 路徑，其極限點相同）。 但為了更嚴格，我們可取另一條簡單直線，如沿著 $y = 0$ 趨近於 $(1, 0)$。 此時自變數為 $(x, 0)$ 且 $x \to 1$：

  $$\lim_{x\to 1} f(x, 0) = \lim_{x\to 1} \frac{x e^0 - 1}{x e^0 - 1 + 0} = \lim_{x\to 1} \frac{x - 1}{x - 1} = 1$$

  （註：或者沿著直線 $x = 0$，此時自變數為 $(0, y)$ 且 $y \to 0$，代入得 $\lim_{y\to 0} \frac{-1}{-1+y} = 1$）

因為沿著這兩條不同的路徑趨近於 $(1, 0)$ 時得到了不同的極限值（$\frac{1}{2} \neq 1$），根據極限的唯一性，該雙變數極限不存在。