1. 數列通項為 $x_n = (a^n + b^n)^{1/n}$。
2. 已知 $0 < a < b$，因此 $b$ 是兩者中的較大值，應以 $b^n$ 作為縮放基準。
3. 利用夾擠定理進行證明與求值：
   • 下界： $a^n + b^n > b^n \implies (a^n+b^n)^{1/n} > (b^n)^{1/n} = b$。
   • 上界： $a^n + b^n < b^n + b^n = 2b^n \implies (a^n+b^n)^{1/n} < (2b^n)^{1/n} = 2^{1/n}b$。
4. 取極限 $n \to \infty$，利用基本數列極限 $\lim_{n\to\infty} 2^{1/n} = 1$。

因為 $0 < a < b$，對任意正整數 $n \ge 1$，我們有 $a^n < b^n$。 因此，我們可以對一般項 $a^n + b^n$ 進行上下界估計：

同時對各項開 $n$ 次方根（由於各項恆正，不等號方向不變）：

即：

考慮兩端數列當 $n \to \infty$ 時的極限：

• 左端為常數數列，極限為：

  $$\lim_{n\to\infty} b = b$$

• 右端極限為：

  $$\lim_{n\to\infty} 2^{1/n} b = b \cdot \lim_{n\to\infty} 2^{1/n} = b \cdot 2^0 = b$$

根據夾擠定理（Squeeze Theorem），夾在中間的數列也必收斂，且極限值相同：

1. 令數列的通項為 $y_n = (a^n+b^n)^{1/n}$。兩邊取對數得到： $\ln y_n = \frac{\ln(a^n+b^n)}{n}$
2. 將數列極限推廣至對應的連續實變函數極限： $\lim_{x\to\infty} \frac{\ln(a^x+b^x)}{x}$
3. 此極限為 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式，利用羅必達法則對其求導。
4. 結合 $0 < a < b \implies 0 < \frac{a}{b} < 1$，消去趨於 0 的指數項得出 $\ln b$。
5. 最後再由對數的連續性求回原極限值。

設對應的連續函數為 $y(x) = (a^x + b^x)^{1/x}$。對兩邊取自然對數：

當 $x \to \infty$ 時，此極限為 $\frac{\infty}{\infty}$ 型。使用羅必達法則：

將分子與分母同除以 $b^x$：

因為 $0 < a < b \implies 0 < \frac{a}{b} < 1$，故有：

代入極限式：

由於指數函數 $e^t$ 是連續的，故：

藉由海涅定理（Heine’s Theorem / 歸結原則），對應數列的極限亦存在且相等：