1. 將級數極限整理為包含 $\frac{k}{n}$ 與外部因子 $\frac{1}{n}$ 的黎曼和（Riemann Sum）形式。
2. 原式可化簡為： $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n+k}} = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n}}}$
3. 將其轉換為區間 $[0, 1]$ 上的定積分： $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x}}\,\mathrm{d}x$
4. 利用基本冪函數的積分公式求解。

將級數以求和符號表示，並進行通項整理：

此式為函數 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}}$ 在區間 $[0, 1]$ 上的右黎曼和。 當 $n \to \infty$ 時，此極限收斂至定積分：

計算此定積分：

1. 將極限寫成定積分 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x}}\,\mathrm{d}x$。
2. 進行變數代換，令 $u = \sqrt{1+x}$ 以消去根號。
3. 計算微分關係與對應的上下限，並求解積分值。

原極限式寫成定積分：

使用變數代換，令 $u = \sqrt{1+x} \implies u^2 = 1+x \implies 2u\,\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$：

• 當 $x = 0 \implies u = 1$。
• 當 $x = 1 \implies u = \sqrt{2}$。

代入積分式：