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111 學年度台聯大微積分 A2 第 8 題

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111學年度 · 111台聯大微積分A2 · 第 8 題

題目

Problem

8. Find the radius of convergence of the power series ∑n=1∞(−1)n+1(x+2)nn2n\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(x + 2)^n}{n 2^n}.

解答

解法一：比值審斂法 (Ratio Test)

思路

展開
  1. 利用比值審斂法求冪級數的收斂半徑。
  2. 級數一般項為 an=(−1)n+1(x+2)nn2na_n = \frac{(-1)^{n+1}(x+2)^n}{n 2^n}。
  3. 計算極限 lim⁡n→∞∣an+1an∣\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|，並令其小於 11 以確保絕對收斂。
  4. 整理得到 ∣x−a∣<R|x-a| < R 的形式，其中 RR 即為收斂半徑。

答題過程

展開

設級數一般項為 an=(−1)n+1(x+2)nn2na_n = \frac{(-1)^{n+1}(x+2)^n}{n 2^n}。 套用比值審斂法，考慮相鄰項的比值極限：

lim⁡n→∞∣an+1an∣= lim⁡n→∞∣(−1)n+2(x+2)n+1(n+1)2n+1(−1)n+1(x+2)nn2n∣= lim⁡n→∞∣(x+2)n+1(x+2)n⋅nn+1⋅2n2n+1∣= ∣x+2∣⋅lim⁡n→∞(nn+1⋅12)=∣x+2∣2\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| =&\, \lim_{n\to\infty} \left| \frac{\frac{(-1)^{n+2}(x+2)^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}}{\frac{(-1)^{n+1}(x+2)^n}{n 2^n}} \right| \\[4mm] =&\, \lim_{n\to\infty} \left| \frac{(x+2)^{n+1}}{(x+2)^n} \cdot \frac{n}{n+1} \cdot \frac{2^n}{2^{n+1}} \right| \\[4mm] =&\, |x+2| \cdot \lim_{n\to\infty} \left( \frac{n}{n+1} \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{|x+2|}{2} \end{align*}

根據比值審斂法，級數絕對收斂必須滿足：

∣x+2∣2<1  ⟹  ∣x+2∣<2\frac{|x+2|}{2} < 1 \implies |x+2| < 2

此收斂區間中心在 x=−2x = -2，其收斂半徑為 2\boxed{2}。

解法二：根值審斂法 (Root Test)

思路

展開
  1. 利用根值審斂法（或柯西-阿達馬定理 Cauchy-Hadamard Theorem）求收斂半徑。
  2. 計算極限 lim⁡n→∞∣an∣n\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}。
  3. 利用基本極限 lim⁡n→∞n1/n=1\lim_{n\to\infty} n^{1/n} = 1。
  4. 令極限小於 11，解出收斂半徑 RR。

答題過程

展開

對級數一般項 an=(−1)n+1(x+2)nn2na_n = \frac{(-1)^{n+1}(x+2)^n}{n 2^n} 套用根值審斂法：

lim⁡n→∞∣an∣n=lim⁡n→∞∣(−1)n+1(x+2)nn2n∣n=lim⁡n→∞∣x+2∣2⋅nn\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac{(-1)^{n+1}(x+2)^n}{n 2^n} \right|} = \lim_{n\to\infty} \frac{|x+2|}{2 \cdot \sqrt[n]{n}}

已知基本極限：

lim⁡n→∞nn=1\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1

因此：

lim⁡n→∞∣an∣n=∣x+2∣2⋅1=∣x+2∣2\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{|x+2|}{2 \cdot 1} = \frac{|x+2|}{2}

根據根值審斂法，級數絕對收斂必須滿足：

∣x+2∣2<1  ⟹  ∣x+2∣<2\frac{|x+2|}{2} < 1 \implies |x+2| < 2

故得收斂半徑為 2\boxed{2}。