1. 利用全微分（Total Differential）來估算函數值的變化量 $\Delta f \approx \mathrm{d}f$： $\mathrm{d}f = f_x(x, y)\mathrm{d}x + f_y(x, y)\mathrm{d}y$
2. 題目中自變數的變化量為：
   • 勞動 $x$ 從 125 減少至 123： $x_0 = 125$， $\mathrm{d}x = 123 - 125 = -2$。
   • 資本 $y$ 從 27 增加至 29： $y_0 = 27$， $\mathrm{d}y = 29 - 27 = 2$。
3. 計算在基準點 $(125, 27)$ 的偏導數 $f_x$ 與 $f_y$。
4. 代入公式求得產出的估計變動量。

給定 Cobb-Douglas 生產函數為：

設定基準點 $(x_0, y_0) = (125, 27)$。自變數的微小變化量為：

1. 計算偏導數

• 對 $x$ 的偏導數：

  $$f_x(x, y) = 30 \cdot \frac{2}{3} x^{-1/3} y^{1/3} = 20 x^{-1/3} y^{1/3}$$

  將 $(125, 27)$ 代入：

  $$f_x(125, 27) = 20 (125)^{-1/3} (27)^{1/3} = 20 \cdot \frac{1}{5} \cdot 3 = 12$$

• 對 $y$ 的偏導數：

  $$f_y(x, y) = 30 \cdot \frac{1}{3} x^{2/3} y^{-2/3} = 10 x^{2/3} y^{-2/3}$$

  將 $(125, 27)$ 代入：

  $$f_y(125, 27) = 10 (125)^{2/3} (27)^{-2/3} = 10 \cdot 25 \cdot \frac{1}{9} = \frac{250}{9}$$

2. 利用全微分計算變化量

因此，產出的近似變動量為增加 $\boxed{\frac{284}{9}}$ 單位。

1. 利用函數在 $(125, 27)$ 的線性逼近（切平面）公式： $L(x, y) = f(125, 27) + f_x(125, 27)(x-125) + f_y(125, 27)(y-27)$
2. 近似變化量為 $\Delta f \approx L(123, 29) - f(125, 27)$。
3. 此方法在概念上與全微分相同，但在解題格式上以線性逼近函數的形態呈現，能使邏輯更加清晰。

在點 $(125, 27)$ 處，生產函數的值為：

偏導數值分別為：

因此， $f(x, y)$ 在點 $(125, 27)$ 的線性逼近函數 $L(x, y)$ 為：

當 $(x, y)$ 變為 $(123, 29)$ 時，產出的近似值為：

因此，產出的近似變化量為：