題目

Problem

5. Find the limit $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \ln\left(1 + \frac{k}{n}\right)$ .

解答

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原極限式可表示為黎曼和形式，對應區間 $[0, 1]$ ：

\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \ln\left(1 + \frac{k}{n}\right) = \int_0^1 \ln(1+x)\,\mathrm{d}x

令 $u = 1+x \implies \mathrm{d}u = \mathrm{d}x$ 。

代回定積分：

\int_1^2 \ln u\,\mathrm{d}u

使用分部積分，對 $\ln u$ 積分的反導函數為 $u\ln u - u$ ：

\left[ u\ln u - u \right]_1^2 = (2\ln 2 - 2) - (1\ln 1 - 1) = 2\ln 2 - 2 - (0 - 1) = \boxed{2\ln 2 - 1}

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將原極限寫成定積分：

I = \int_0^1 \ln(1+x)\,\mathrm{d}x

使用分部積分法，令 $u = \ln(1+x) \implies \mathrm{d}u = \frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x$ ，且 $\mathrm{d}v = \mathrm{d}x \implies v = x$ ：

\begin{align*} I =&\, \left[ x\ln(1+x) \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1+x}\,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \left( 1\ln 2 - 0 \right) - \int_0^1 \left( 1 - \frac{1}{1+x} \right)\mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \ln 2 - \left[ x - \ln(1+x) \right]_0^1 \\[4mm] =&\, \ln 2 - \left( 1 - \ln 2 \right) = \boxed{2\ln 2 - 1} \end{align*}