1. 本題欲在閉區間 $[0, 1]$ 上尋找連續函數的絕對最大值，可利用閉區間法 (Closed Interval Method)：
   • 找出開區間 $(0, 1)$ 內的所有臨界點（使 $f'(x) = 0$ 或 $f'(x)$ 不存在的點）。
   • 計算端點 $x=0, x=1$ 處的函數值。
   • 比較這些臨界點與端點處的函數值，其中最大者即為絕對最大值。
2. 對於 $f(x) = x^{1/2}(1-x)^3$ 進行求導，並令其為零來尋找臨界點。

第一步：尋找開區間 $(0,1)$ 內的臨界點

對 $f(x) = x^{1/2}(1-x)^3$ 使用乘積法則與連鎖律求導：

為了便於因式分解，提取公因式 $x^{-1/2}(1-x)^2$：

令 $f'(x) = 0$ 且考慮 $x \in (0, 1)$：

• $1-x = 0 \implies x = 1$（此為區間端點）。
• $1-7x = 0 \implies x = \frac{1}{7}$（位於開區間 $(0, 1)$ 內）。

另外，當 $x = 0$ 時， $f'(x)$ 不存在（此為區間左端點）。 因此，開區間 $(0, 1)$ 內唯一的臨界點為 $x = \frac{1}{7}$。

第二步：計算並比較臨界點與端點處的函數值

• 端點處：

  $$f(0) = 0^{1/2}(1-0)^3 = 0$$ $$f(1) = 1^{1/2}(1-1)^3 = 0$$

• 臨界點處：

  $$f\left(\frac{1}{7}\right) = \left(\frac{1}{7}\right)^{1/2}\left(1 - \frac{1}{7}\right)^3 = \frac{1}{\sqrt{7}} \left(\frac{6}{7}\right)^3 = \frac{216}{343\sqrt{7}}$$

  將分母有理化：

  $$f\left(\frac{1}{7}\right) = \frac{216\sqrt{7}}{343 \cdot 7} = \frac{216\sqrt{7}}{2401}$$

第三步：比較極值

由於 $\frac{216\sqrt{7}}{2401} > 0$，經由比較可知，絕對最大值發生於 $x = \frac{1}{7}$ 處，其最大值為 $\frac{216\sqrt{7}}{2401}$。

故最大值為 $\boxed{\frac{216\sqrt{7}}{2401}}$。