CalcGospel 微積分福音
返回

111 學年度台聯大微積分 A2 第 3 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A2

111學年度 · 111台聯大微積分A2 · 第 3 題

題目

Problem

3. Find the volume of the solid bounded above by the surface z=f(x,y)=ex+2yz = f(x, y) = e^{x+2y} and below by the plane region RR, where RR is the triangle with vertices (0,0)(0, 0), (1,0)(1, 0), and (0,1)(0, 1).

解答

解法一：視為 X-型區域 (Type I Region) 積分

思路

展開
  1. 體積公式為 V=∬Rf(x,y) dA=∬Rex+2y dAV = \iint_R f(x, y)\,\mathrm{d}A = \iint_R e^{x+2y}\,\mathrm{d}A。
  2. 描繪三角形區域 RR：邊界為 x=0x=0, y=0y=0 及其斜邊 x+y=1  ⟹  y=1−xx+y=1 \implies y = 1-x。
  3. 寫出 X-型區域之逐次積分限： 0≤x≤10 \le x \le 1， 0≤y≤1−x0 \le y \le 1-x。
  4. 先對 yy 積分，再對 xx 積分。

答題過程

展開

三角形區域 RR 的邊界為 y=0y=0 (x-axis), x=0x=0 (y-axis) 以及連接 (1,0)(1,0) 與 (0,1)(0,1) 的斜線 y=1−xy = 1-x。 故可寫為：

R={(x,y)∈R2:0≤x≤1,0≤y≤1−x}R = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1-x \}

體積 VV 的二重積分表達式為：

V= ∫01∫01−xex+2y dydx= ∫01ex[12e2y]01−xdx= 12∫01ex(e2(1−x)−1)dx= 12∫01(e2−x−ex)dx= 12[−e2−x−ex]01= 12[(−e1−e1)−(−e2−e0)]= 12(e2−2e+1)=12(e−1)2\begin{align*} V =&\, \int_0^1 \int_0^{1-x} e^{x+2y}\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \int_0^1 e^x \left[ \frac{1}{2}e^{2y} \right]_0^{1-x} \mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \frac{1}{2} \int_0^1 e^x \left( e^{2(1-x)} - 1 \right) \mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \frac{1}{2} \int_0^1 \left( e^{2-x} - e^x \right) \mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \frac{1}{2} \left[ -e^{2-x} - e^x \right]_0^1 \\[4mm] =&\, \frac{1}{2} \left[ (-e^1 - e^1) - (-e^2 - e^0) \right] \\[4mm] =&\, \frac{1}{2} \left( e^2 - 2e + 1 \right) = \boxed{\frac{1}{2} (e-1)^2} \end{align*}

解法二：視為 Y-型區域 (Type II Region) 積分

思路

展開
  1. 同樣利用體積公式，但將三角形區域 RR 表示為 Y-型區域。
  2. 積分限為 0≤y≤10 \le y \le 1， 0≤x≤1−y0 \le x \le 1-y。
  3. 先對 xx 積分，再對 yy 積分，藉此提供另一種獨立的演算過程。

答題過程

展開

將三角形區域 RR 表達為：

R={(x,y)∈R2:0≤y≤1,0≤x≤1−y}R = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \le y \le 1, 0 \le x \le 1-y \}

則體積的二重積分為：

V= ∫01∫01−yex+2y dxdy= ∫01e2y[ex]01−ydy= ∫01e2y(e1−y−1)dy= ∫01(ey+1−e2y)dy= [ey+1−12e2y]01= (e2−12e2)−(e1−12)= 12e2−e+12=12(e−1)2\begin{align*} V =&\, \int_0^1 \int_0^{1-y} e^{x+2y}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\[4mm] =&\, \int_0^1 e^{2y} \left[ e^x \right]_0^{1-y} \mathrm{d}y \\[4mm] =&\, \int_0^1 e^{2y} \left( e^{1-y} - 1 \right) \mathrm{d}y \\[4mm] =&\, \int_0^1 \left( e^{y+1} - e^{2y} \right) \mathrm{d}y \\[4mm] =&\, \left[ e^{y+1} - \frac{1}{2}e^{2y} \right]_0^1 \\[4mm] =&\, \left( e^2 - \frac{1}{2}e^2 \right) - \left( e^1 - \frac{1}{2} \right) \\[4mm] =&\, \frac{1}{2}e^2 - e + \frac{1}{2} = \boxed{\frac{1}{2}(e-1)^2} \end{align*}