1. 此極限在 $x \to 0$ 時為 $\frac{0}{0}$ 型。
2. 利用等價無窮小關係 $\tan x \sim x$（當 $x \to 0$ 時），先將分母化簡成 $x^3$。 $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x - x\cos x}{\tan^3 x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x - x\cos x}{x^3} \cdot \left( \lim_{x\to 0} \frac{x}{\tan x} \right)^3 = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x - x\cos x}{x^3}$
3. 使用麥克勞林級數展開分子：
   • $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
   • $x\cos x = x\left( 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) \right) = x - \frac{x^3}{2} + O(x^5)$
4. 相減後比較最低次項係數即可得出答案。

原式改寫為：

因為 $\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{x}{\tan x} = 1$，故原極限等於：

寫出 $\sin x$ 與 $\cos x$ 在 $x=0$ 處的泰勒展開式：

將展開式代回分子：

代入極限式中：

1. 同樣先利用等價無窮小 $\tan x \sim x$ 將分母化簡為 $x^3$。
2. 對化簡後的極限 $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x - x\cos x}{x^3}$ 直接使用羅必達法則。
3. 對分子分母求導一次，消去抵消項後，即可利用基本極限 $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 直接求出答案。

利用等價無窮小代換 $\tan x \sim x$（當 $x \to 0$），原極限化簡為：

此時極限為 $\frac{0}{0}$ 型，對其使用羅必達法則：

計算分子的導數：

代回極限式：

利用基本極限 $\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$：