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111 學年度台聯大微積分 A2 乙部第 3 題

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111學年度 · 111台聯大微積分A2 · 第 12 題

題目

Problem

3. Sketch the region of integration and evaluate the integral ∫01∫y312πsin⁡(πx2)x2 dxdy\int_0^1 \int_{\sqrt[3]{y}}^1 \frac{2\pi \sin(\pi x^2)}{x^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y. (12 points)

解答

解法一：交換積分順序法

思路

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  1. 描繪區域：積分區域由 0≤y≤10 \le y \le 1 以及 y3≤x≤1\sqrt[3]{y} \le x \le 1 給定。 其左邊界為 x=y3  ⟹  y=x3x = \sqrt[3]{y} \implies y = x^3，右邊界為 x=1x = 1。
  2. 交換積分順序：由於被積函數 sin⁡(πx2)x2\frac{\sin(\pi x^2)}{x^2} 無法直接對 xx 進行初等積分，我們必須交換為先對 yy 後對 xx 積分。
  3. 轉換後的積分區域為： 0≤x≤10 \le x \le 1， 0≤y≤x30 \le y \le x^3。
  4. 積分 yy 後將與 x3x^3 相乘，消去分母 x2x^2，即可用代換積分法完成。

答題過程

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第一步：描繪積分區域並交換順序

原積分區域為：

D={(x,y)∈R2:0≤y≤1,y3≤x≤1}D = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \le y \le 1, \sqrt[3]{y} \le x \le 1 \right\}

其邊界曲線為：

  • 左邊界： x=y1/3  ⟹  y=x3x = y^{1/3} \implies y = x^3
  • 下邊界： y=0y = 0
  • 右邊界： x=1x = 1

區域示意圖如下：

       y
       |         / (1,1)
     1 |*-------* (y = x^3)
       | \      |
       |  \  D  |
       |   \    |
-------|----*---|-----> x
       0        1

將區域改寫為先對 yy 積分的形式：

D={(x,y)∈R2:0≤x≤1,0≤y≤x3}D = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \le x \le 1, 0 \le y \le x^3 \right\}

第二步：計算積分

交換積分順序後：

I= ∫01∫0x32πsin⁡(πx2)x2 dydx= ∫012πsin⁡(πx2)x2(∫0x31 dy)dx= ∫012πsin⁡(πx2)x2⋅x3 dx= 2π∫01xsin⁡(πx2) dx\begin{align*} I =&\, \int_0^1 \int_0^{x^3} \frac{2\pi \sin(\pi x^2)}{x^2}\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \int_0^1 \frac{2\pi \sin(\pi x^2)}{x^2} \left( \int_0^{x^3} 1\,\mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \int_0^1 \frac{2\pi \sin(\pi x^2)}{x^2} \cdot x^3 \,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\, 2\pi \int_0^1 x \sin(\pi x^2)\,\mathrm{d}x \end{align*}

使用代換積分法，令 u=πx2  ⟹  du=2πx dxu = \pi x^2 \implies \mathrm{d}u = 2\pi x\,\mathrm{d}x：

  • 當 x=0  ⟹  u=0x = 0 \implies u = 0。
  • 當 x=1  ⟹  u=πx = 1 \implies u = \pi。

代回積分：

I=∫0πsin⁡u du=[−cos⁡u]0π=−cos⁡π−(−cos⁡0)=−(−1)−(−1)=2I = \int_0^\pi \sin u\,\mathrm{d}u = \left[ -\cos u \right]_0^\pi = -\cos\pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = \boxed{2}