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111 學年度台聯大微積分 A2 乙部第 2 題

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111學年度 · 111台聯大微積分A2 · 第 11 題

題目

Problem

2. Find the critical point(s) of the function f(x,y)=ex2−y2f(x, y) = e^{x^2 - y^2}. Then use the second derivative test to classify the nature of the point. (12 points)

解答

解法一：常規二階導數判定法 (判別式 DD 法)

思路

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  1. 求臨界點：計算梯度 ∇f(x,y)=⟨fx,fy⟩\nabla f(x, y) = \langle f_x, f_y \rangle，並令其為零向量以求解臨界點。
  2. 計算二階偏導數：求出 fxx,fxy,fyyf_{xx}, f_{xy}, f_{yy}。
  3. 套用二階判定法：
    • 計算判別式（判別函數值）： D=fxxfyy−(fxy)2D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2
    • 代入臨界點 (0,0)(0, 0)，若 D<0D < 0，則該點為鞍點（Saddle point）。

答題過程

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第一步：尋找臨界點

對 f(x,y)=ex2−y2f(x, y) = e^{x^2 - y^2} 計算一階偏導數：

fx(x,y)=2xex2−y2f_x(x, y) = 2x e^{x^2 - y^2} fy(x,y)=−2yex2−y2f_y(x, y) = -2y e^{x^2 - y^2}

令偏導數皆為零以尋找臨界點：

{2xex2−y2=0−2yex2−y2=0\begin{cases} 2x e^{x^2 - y^2} = 0 \\ -2y e^{x^2 - y^2} = 0 \end{cases}

因為指數項 ex2−y2>0e^{x^2 - y^2} > 0 恆為正，故方程組的唯一解為：

x=0,y=0x = 0, \quad y = 0

因此，唯一的臨界點為 (0,0)(0, 0)。

第二步：計算二階偏導數並套用判定法

計算二階偏導數：

fxx(x,y)=∂∂x(2xex2−y2)=2ex2−y2+4x2ex2−y2=2ex2−y2(1+2x2)f_{xx}(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (2x e^{x^2 - y^2}) = 2e^{x^2 - y^2} + 4x^2 e^{x^2 - y^2} = 2e^{x^2 - y^2} (1 + 2x^2) fxy(x,y)=∂∂y(2xex2−y2)=−4xyex2−y2f_{xy}(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (2x e^{x^2 - y^2}) = -4xy e^{x^2 - y^2} fyy(x,y)=∂∂y(−2yex2−y2)=−2ex2−y2+4y2ex2−y2=2ex2−y2(−1+2y2)f_{yy}(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (-2y e^{x^2 - y^2}) = -2e^{x^2 - y^2} + 4y^2 e^{x^2 - y^2} = 2e^{x^2 - y^2} (-1 + 2y^2)

在臨界點 (0,0)(0, 0) 處，代入上式求值：

fxx(0,0)=2(1)=2,fxy(0,0)=0,fyy(0,0)=2(−1)=−2f_{xx}(0, 0) = 2(1) = 2, \quad f_{xy}(0, 0) = 0, \quad f_{yy}(0, 0) = 2(-1) = -2

計算判別式 DD 的值：

D=fxx(0,0)fyy(0,0)−[fxy(0,0)]2=2(−2)−02=−4D = f_{xx}(0, 0)f_{yy}(0, 0) - [f_{xy}(0, 0)]^2 = 2(-2) - 0^2 = -4

由於 D=−4<0D = -4 < 0，根據二階偏導數判定法，臨界點 (0,0)(0, 0) 為一個鞍點 (Saddle point)。

故唯一的臨界點為 (0,0)(0, 0)，且此點為鞍點。

解法二：黑森矩陣特徵值分析法

思路

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  1. 同樣先求出臨界點為 (0,0)(0, 0)。
  2. 建立該函數在 (0,0)(0, 0) 處的黑森矩陣（Hessian Matrix） H(0,0)H(0,0)。
  3. 藉由黑森矩陣的特徵值（Eigenvalues）正負號，判定臨界點的性質：
    • 特徵值皆為正：局部極小值。
    • 特徵值皆為負：局部極大值。
    • 特徵值一正一負：鞍點。

答題過程

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求得唯一臨界點為 (0,0)(0, 0)。

計算函數在 (0,0)(0, 0) 處的黑森矩陣 HH：

H(0,0)=[fxx(0,0)fxy(0,0)fyx(0,0)fyy(0,0)]=[200−2]H(0,0) = \begin{bmatrix} f_{xx}(0,0) & f_{xy}(0,0) \\ f_{yx}(0,0) & f_{yy}(0,0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}

由於此矩陣為對角矩陣，其主對角線上的元素即為特徵值：

λ1=2>0,λ2=−2<0\lambda_1 = 2 > 0, \quad \lambda_2 = -2 < 0

因為特徵值具有相異的正負號（一正一負），黑森矩陣為不定矩陣（Indefinite）。 由特徵值判定規則，此臨界點 (0,0)(0, 0) 為一鞍點 (Saddle point)。