1. 級數一般項為 $a_n = \frac{1}{n(\ln n)^{3/2}}$。
2. 此一般項對應的連續函數為 $f(x) = \frac{1}{x(\ln x)^{3/2}}$，在 $[2, \infty)$ 上為正值、連續且單調遞減。
3. 適合使用積分審斂法 (Integral Test) 進行判定。
4. 計算反常積分 $\int_2^\infty \frac{1}{x(\ln x)^{3/2}}\,\mathrm{d}x$，利用代換積分法 $u = \ln x$ 求解。

考慮對應函數 $f(x) = \frac{1}{x(\ln x)^{3/2}}$。在區間 $x \ge 2$ 上：

• $f(x) > 0$ （函數值為正）。
• $f(x)$ 連續。
• 由於分母中的 $x$ 與 $\ln x$ 皆隨 $x$ 增加而單調遞增，故 $f(x)$ 隨 $x$ 增加而單調遞減。

因此，符合積分審斂法的使用條件。我們計算反常積分：

使用變數代換，令 $u = \ln x \implies \mathrm{d}u = \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$：

• 當 $x = 2 \implies u = \ln 2$。
• 當 $x = t \implies u = \ln t$。

代回定積分中計算：

取極限 $t \to \infty$：

由於此反常積分收斂至有限數值，根據積分審斂法，原無窮級數亦收斂。

故此級數收斂。

1. 級數一般項 $a_n = \frac{1}{n(\ln n)^{3/2}}$ 滿足正值且單調遞減的條件。
2. 根據柯西凝聚審斂法，級數 $\sum a_n$ 與其凝聚級數 $\sum 2^k a_{2^k}$ 具有相同的收斂性。
3. 計算凝聚項 $2^k a_{2^k}$，化簡後將其轉化為對應的 $p$-級數進行判定。

對於級數一般項 $a_n = \frac{1}{n(\ln n)^{3/2}}$，由於 $a_n \ge 0$ 且為單調遞減。 我們套用柯西凝聚審斂法，構造凝聚項 $2^k a_{2^k}$：

此時，凝聚級數為：

因為級數 $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{3/2}}$ 為 $p$-級數（其中 $p = \frac{3}{2} > 1$），故其為收斂級數。 常數倍數不影響級數的收斂性，因此凝聚級數 $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty 2^k a_{2^k}$ 收斂。

由柯西凝聚審斂法可知，原級數 $\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^{3/2}}$ 亦收斂。