題目

Problem

乙、計算、證明題：共 3 題，每題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{(xy)^p}{x^4+y^4}, & \text{if } (x,y)\ne(0,0),\\ 0, & \text{if } (x,y)=(0,0) \end{cases}

Use polar coordinates to show that $f(x,y)$ is continuous at all $(x,y)$ if $p>2$ , but discontinuous at $(0,0)$ if $p\le 2$ .

解答

令 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ 。則對 $(x,y)\ne(0,0)$ ，

f(x,y)=r^{2p-4} \frac{\cos^p\theta\sin^p\theta}{\cos^4\theta+\sin^4\theta}.

因此 $p>2$ 時 $r^{2p-4}\to0$ ，函數在原點連續；而 $p\le2$ 時沿 $y=x$ 不會趨於 $0$ 。故結論正是

\boxed{p>2\text{ 時連續；}p\le2\text{ 時在原點不連續}}.