題目 Problem 甲、簡答題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。 Calculate ∬Re9x2+4y2 dA\displaystyle\iint_R e^{9x^2+4y^2}\,dA∬Re9x2+4y2dA where RRR is the interior of the ellipse (x2)2+(y3)2≤1\left(\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{y}{3}\right)^2\le 1(2x)2+(3y)2≤1. 解答 解法一 令 u=3x, v=2yu=3x,\ v=2yu=3x, v=2y。則 RRR 變成半徑 666 的圓盤，且 dA=16 du dv\mathrm dA=\frac16\,\mathrm du\,\mathrm dvdA=61dudv： ∬Re9x2+4y2 dA= 16∫02π∫06er2r dr dθ= π6(e36−1).\begin{align*} \iint_R e^{9x^2+4y^2}\,\mathrm dA =&\,\frac16\int_0^{2\pi}\int_0^6e^{r^2}r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\\[4mm] =&\,\boxed{\frac\pi6(e^{36}-1)}. \end{align*}∬Re9x2+4y2dA==61∫02π∫06er2rdrdθ6π(e36−1).
