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109 台聯大微積分(A3/A4/A6) 第 4 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A3/A4/A6

109學年度 · 109微積分A3/A4/A6 · 第 4 題

題目

Problem

甲、簡答題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。

  1. Let CC be the curve of intersection of the two surfaces x2+y2+z2=3x^2+y^2+z^2=3 and (x−2)2+(y−2)2+z2=3(x-2)^2+(y-2)^2+z^2=3. Find parametric equations of the tangent line to CC at P=(1,1,1)P=(1,1,1).

解答

解法一

兩曲面的法向量在 PP 分別為

∇(x2+y2+z2)=(2,2,2),∇((x−2)2+(y−2)2+z2)=(−2,−2,2).\nabla(x^2+y^2+z^2)=(2,2,2),\qquad \nabla\big((x-2)^2+(y-2)^2+z^2\big)=(-2,-2,2).

其叉積可取為 (1,−1,0)(1,-1,0)，故切線為

(x,y,z)=(1,1,1)+t(1,−1,0),t∈R.\boxed{(x,y,z)=(1,1,1)+t(1,-1,0),\quad t\in\mathbb R}.