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109 台聯大微積分(A3/A4/A6) 第 10 題

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109學年度 · 109微積分A3/A4/A6 · 第 10 題

題目

Problem

乙、計算、證明題：共 3 題，每題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

a. Determine whether the series ∑n=1∞(−1)nln⁡(1+1n)\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) diverges or converges conditionally or converges absolutely and give reasons for your answer. (6 points)

b. Show that if ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n converges, then ∑n=1∞(3+sin⁡(an)5)n\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{3+\sin(a_n)}{5}\right)^n converges. (6 points)

解答

(a)

ln⁡(1+1/n)\ln(1+1/n) 遞減至 00，故交錯級數收斂；又 ln⁡(1+1/n)∼1/n\ln(1+1/n)\sim1/n，絕對值級數發散。因此原級數 條件收斂\boxed{\text{條件收斂}}。

(b)

由 ∑an\sum a_n 收斂知 an→0a_n\to0，所以 3+sin⁡an5→35\frac{3+\sin a_n}{5}\to\frac35。取 35<r<1\frac35<r<1，充分大時該底數不超過 rr，故尾項被收斂等比級數 rnr^n 控制，原級數 收斂\boxed{\text{收斂}}。