題目

Problem

甲、簡答題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。

How many local extreme values does the function $f(x,y)=10xye^{-(x^2+y^2)}$ have?

解答

f_x=10y(1-2x^2)e^{-(x^2+y^2)}, \qquad f_y=10x(1-2y^2)e^{-(x^2+y^2)}.

除了原點（鞍點）外，臨界點為 $x,y=\pm\frac1{\sqrt2}$ 。其中同號兩點給局部最大值 $\frac5e$ ，異號兩點給局部最小值 $-\frac5e$ 。因此共有

\boxed{4\text{ 個局部極值點}}.