題目 Problem 甲、簡答題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。 Evaluate ∫0ln5∫ex51lny dy dx\displaystyle\int_0^{\ln 5}\int_{e^x}^{5}\frac{1}{\ln y}\,dy\,dx∫0ln5∫ex5lny1dydx. 解答 解法一 答題過程 交換積分次序後，區域為 1≤y≤51\le y\le51≤y≤5、0≤x≤lny0\le x\le\ln y0≤x≤lny： ∫0ln5∫ex51lny dy dx= ∫15∫0lny1lny dx dy= ∫151 dy=4.\begin{align*} \int_0^{\ln5}\int_{e^x}^5\frac1{\ln y}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x =&\,\int_1^5\int_0^{\ln y}\frac1{\ln y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\[4mm] =&\,\int_1^5 1\,\mathrm{d}y =\boxed{4}. \end{align*}∫0ln5∫ex5lny1dydx==∫15∫0lnylny1dxdy∫151dy=4.
