微積分福音

109 台聯大微積分(A2) 第 4 題

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109學年度 · 109微積分A2 · 第 4 題

題目

Problem

甲、簡答題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。

A building in the shape of a rectangular box is to have a volume of $12{,}000\ \mathrm{ft}^3$ . It is estimated that the annual heating and cooling costs will be $\$ 2 $/square foot for the top,$ $4 $/square foot for the front and back, and$ $3$/square foot for the sides. What is the minimal annual heating and cooling cost?

解答

解法一

答題過程

令建築的長、寬、高為 $a,b,h$ 。由 $abh=12000$ ，成本為

C=2ab+8bh+6ah=2ab+\frac{96000}{a}+\frac{72000}{b}.

令兩個偏導數為零：

2b=\frac{96000}{a^2}, \qquad 2a=\frac{72000}{b^2}.

解得 $a=40$ 、 $b=30$ 、 $h=10$ 。因此最小年成本為

\boxed{7200\text{ dollars}}.