CalcGospel 微積分福音
返回

109 台聯大微積分(A2) 第 11 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A2

109學年度 · 109微積分A2 · 第 11 題

題目

Problem

乙、計算、證明題：共 3 題，每題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

  1. A trough with a trapezoidal cross section is to be constructed with a 1-foot base and sides that are 20 feet long and 1 foot wide, as shown in the figure. Only the angle θ\theta can be varied. What value of θ\theta will maximize the trough’s volume?

解答

解法一

答題過程

橫截面的高為 cos⁡θ\cos\theta，上底為 1+2sin⁡θ1+2\sin\theta，故其面積為

A(θ)=1+(1+2sin⁡θ)2cos⁡θ=(1+sin⁡θ)cos⁡θ.A(\theta)=\frac{1+(1+2\sin\theta)}2\cos\theta =(1+\sin\theta)\cos\theta.

槽長固定為 2020，所以最大體積等價於最大化 AA。令 s=sin⁡θs=\sin\theta，則

A′(θ)=1−s−2s2.A'(\theta)=1-s-2s^2.

在可行範圍內，1−s−2s2=01-s-2s^2=0 給 s=12s=\frac12，故

θ=π6.\boxed{\theta=\frac\pi6}.