題目

解答

解法一

思路

• 上界 $z=\sqrt{4-r^2}$ 是球面 $r^2+z^2=4$，下界 $z=r$ 是向上的圓錐。
• 球坐標中 $z=r$ 對應 $\phi=\pi/4$；「圓錐上方」因此是較小的極角。

答題過程

原區域在半徑為 $2$ 的球內，且位於圓錐 $z=r$ 上方。以 $r=\rho\sin\phi$、$z=\rho\cos\phi$ 表示，圓錐條件給出 $\phi=\pi/4$，因此

$0\leq\rho\leq2,\qquad0\leq\phi\leq\frac\pi4,\qquad0\leq\theta\leq2\pi.$

又 $\mathrm{d}V=\rho^2\sin\phi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\phi\,\mathrm{d}\theta$，等價積分為

$\boxed{\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/4}\int_0^2 3\rho^2\sin\phi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\phi\,\mathrm{d}\theta}.$