題目
Problem
甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。
Find the work done by the force F = x i + y j ( x 2 + y 2 ) 3 / 2 \mathbf{F}=\dfrac{x\mathbf{i}+y\mathbf{j}}{(x^2+y^2)^{3/2}} F = ( x 2 + y 2 ) 3/2 x i + y j r ( t ) = ( e t cos t ) i + ( e t sin t ) j \mathbf{r}(t)=(e^t\cos t)\mathbf{i}+(e^t\sin t)\mathbf{j} r ( t ) = ( e t cos t ) i + ( e t sin t ) j ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) ( e 2 π , 0 ) (e^{2\pi},0) ( e 2 π , 0 )
解答
解法一
思路
力場是以原點為中心的反平方場；辨認為梯度場後，線積分只須比較兩端點的勢函數。
所給螺旋路徑避開原點，因此勢函數法可用。
答題過程
令
Φ ( x , y ) = − 1 x 2 + y 2 . \Phi(x,y)=-\frac1{\sqrt{x^2+y^2}}. Φ ( x , y ) = − x 2 + y 2 1 . 直接微分可得
∇ Φ = ( x ( x 2 + y 2 ) 3 / 2 , y ( x 2 + y 2 ) 3 / 2 ) = F . \nabla\Phi=\left(\frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}},\frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}}\right)=\mathbf F. ∇Φ = ( ( x 2 + y 2 ) 3/2 x , ( x 2 + y 2 ) 3/2 y ) = F . 故作功只與端點有關。起點為 ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) ( e 2 π , 0 ) (e^{2\pi},0) ( e 2 π , 0 )
W = Φ ( e 2 π , 0 ) − Φ ( 1 , 0 ) = − e − 2 π − ( − 1 ) = 1 − e − 2 π . W=\Phi(e^{2\pi},0)-\Phi(1,0)
=-e^{-2\pi}-(-1)=\boxed{1-e^{-2\pi}}. W = Φ ( e 2 π , 0 ) − Φ ( 1 , 0 ) = − e − 2 π − ( − 1 ) = 1 − e − 2 π . 