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108 台聯大微積分(A3/A4/A7) 第 5 題

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108學年度 · 108微積分A3/A4/A7 · 第 5 題

題目

Problem

甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。

  1. Find the direction in which the function f(x,y)=x2y+exysin⁡yf(x,y)=x^2y+e^{xy}\sin y increases most rapidly at the point (1,0)(1,0). Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

解法一

思路

  • 可微函數在某點增加最快的方向，就是該點梯度的方向。
  • 因此先求兩個偏導數，再將梯度化為單位向量。

答題過程

fx= 2xy+yexysin⁡y,fy= x2+exy(xsin⁡y+cos⁡y).\begin{align*} f_x=&\,2xy+ye^{xy}\sin y,\\[4mm] f_y=&\,x^2+e^{xy}\bigl(x\sin y+\cos y\bigr). \end{align*}

代入 (1,0)(1,0) 得

∇f(1,0)=(fx(1,0),fy(1,0))=(0,2).\nabla f(1,0)=\bigl(f_x(1,0),f_y(1,0)\bigr)=(0,2).

故最速上升方向為梯度的單位向量：

∇f(1,0)∥∇f(1,0)∥=(0,1)=j.\frac{\nabla f(1,0)}{\|\nabla f(1,0)\|}=(0,1)=\boxed{\mathbf j}.