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108 台聯大微積分(A3/A4/A7) 第 4 題

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108學年度 · 108微積分A3/A4/A7 · 第 4 題

題目

Problem

甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。

  1. Evaluate the definite integral ∫191x(1+x)2 dx\displaystyle\int_1^9 \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^2}\,dx. Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

解法一

思路

  • 分母同時出現 x\sqrt{x} 與 1+x1+\sqrt{x}，令 u=xu=\sqrt{x} 可一次消去根號。
  • 定積分代換時，積分上下限也要改為 u=1u=1 與 u=3u=3。

答題過程

令 u=xu=\sqrt{x}，則 x=u2x=u^2、dx=2u du\mathrm{d}x=2u\,\mathrm{d}u。當 x=1,9x=1,9 時，分別有 u=1,3u=1,3，故

∫191x(1+x)2 dx= ∫132(1+u)2 du= −21+u∣13=−12−(−1)=12.\begin{align*} \int_1^9\frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^2}\,\mathrm{d}x =&\,\int_1^3\frac{2}{(1+u)^2}\,\mathrm{d}u\\[4mm] =&\,\left.-\frac{2}{1+u}\right|_1^3 =-\frac12-(-1)=\frac12. \end{align*}

所以所求值為 12\boxed{\frac12}。