題目
Problem
甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。
Find the average value of the function f ( x , y ) = e − x 2 f(x,y)=e^{-x^2} f ( x , y ) = e − x 2 R R R R R R ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 )
解答
解法一
思路
二變數函數在區域 R R R 1 Area ( R ) ∬ R f d A \dfrac1{\operatorname{Area}(R)}\iint_R f\,\mathrm{d}A Area ( R ) 1 ∬ R f d A
先把三角形寫成 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 0\leq y\leq x\leq1 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 x x x x x x
答題過程
三角形區域為 0 ≤ x ≤ 1 0\leq x\leq1 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ x 0\leq y\leq x 0 ≤ y ≤ x 1 2 \frac12 2 1
f a v g = 1 1 / 2 ∫ 0 1 ∫ 0 x e − x 2 d y d x = 2 ∫ 0 1 x e − x 2 d x = − e − x 2 ∣ 0 1 = 1 − e − 1 . \begin{align*}
f_{\mathrm{avg}}
=&\,\frac1{1/2}\int_0^1\int_0^x e^{-x^2}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\\[4mm]
=&\,2\int_0^1xe^{-x^2}\,\mathrm{d}x\\[4mm]
=&\,\left.-e^{-x^2}\right|_0^1
=1-e^{-1}.
\end{align*} f avg = = = 1/2 1 ∫ 0 1 ∫ 0 x e − x 2 d y d x 2 ∫ 0 1 x e − x 2 d x − e − x 2 0 1 = 1 − e − 1 . 故平均值為 1 − e − 1 \boxed{1-e^{-1}} 1 − e − 1
