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108 台聯大微積分(A3/A4/A7) 第 2 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A3/A4/A7

108學年度 · 108微積分A3/A4/A7 · 第 2 題

題目

Problem

甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。

  1. Let f(x)=∫1x1+t2 dtf(x)=\displaystyle\int_1^x \sqrt{1+t^2}\,dt. Find (f−1)′(0)(f^{-1})'(0). Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

解法一

思路

  • 反函數導數公式須在 x=f−1(0)x=f^{-1}(0) 處套用。
  • 先由定積分找出哪個 xx 使得 f(x)=0f(x)=0，再用微積分基本定理求 f′(x)f'(x)。

答題過程

由積分上下限相同可知 f(1)=0f(1)=0，所以 f−1(0)=1f^{-1}(0)=1。又由微積分基本定理，

f′(x)=1+x2,f′(1)=2.f'(x)=\sqrt{1+x^2},\qquad f'(1)=\sqrt2.

反函數導數公式給出

(f−1)′(0)=1f′(f−1(0))=12.(f^{-1})'(0)=\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(0)\bigr)} =\frac1{\sqrt2}.

故答案為 12\boxed{\dfrac1{\sqrt2}}。