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108 台聯大微積分(A2) 第 11 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A2

108學年度 · 108微積分A2 · 第 11 題

題目

Problem

乙、計算、證明題：共 3 題，每題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

  1. Determine if the series converges or diverges.

a. ∑n=0∞e−n2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}e^{-n^2}

b. ∑n=1∞sin⁡(1/n)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sin(1/n)

解答

解法一

(a) e−n2≤e−ne^{-n^2}\leq e^{-n}，故收斂。
(b) sin⁡(1/n)∼1/n\sin(1/n)\sim1/n，故與調和級數同樣發散。

因此答案為：(a) 收斂；(b) 發散\boxed{\text{(a) 收斂；(b) 發散}}。