題目 Problem 甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。 Evaluate ∫−∞∞ex1+e2x dx\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^x}{1+e^{2x}}\,\mathrm{d}x∫−∞∞1+e2xexdx. Answer : \underline{\quad(1)\quad} 解答 解法一 思路 展開 分子正好是 exe^xex 的微分；令 u=exu=e^xu=ex 後，瑕積分化為反正切的基本積分。 答題過程 展開 令 u=exu=e^xu=ex，則 du=ex dx\mathrm{d}u=e^x\,\mathrm{d}xdu=exdx，且上下限變為 000、∞\infty∞： ∫−∞∞ex1+e2x dx= ∫0∞11+u2 du= [tan−1u]0∞=π2.\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^x}{1+e^{2x}}\,\mathrm{d}x =&\,\int_0^\infty\frac1{1+u^2}\,\mathrm{d}u\\[4mm] =&\,\left[\tan^{-1}u\right]_0^\infty =\boxed{\frac\pi2}. \end{align*}∫−∞∞1+e2xexdx==∫0∞1+u21du[tan−1u]0∞=2π.
