題目

Problem

乙、計算、證明題：共 3 大題，每大題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

An airplane is flying on a flight path that will take it directly over a radar tracking station. The distance $s$ is decreasing at a rate of 640 kilometers per hour when $s=16$ km. What is the speed of the plane?

題目勘誤

官方原題：只給出雷達距離 $s=16$ km 與 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=-640$ km/h，未給飛機的飛行高度，也未明定 $s$ 是否沿飛行路徑量得。

實際上應為：若 $s$ 是通常所指雷達至飛機的直線距離，則飛機速率還取決於高度，原資料不足以唯一決定；若明示 $s$ 沿飛行路徑量得，速率才是 $640$ km/h。

本頁保留官方原題，未替換原題條件。

解答

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設飛機保持高度 $h$ 飛行， $x$ 為其到雷達站的水平距離。則

s^2=x^2+h^2.

對時間微分，得

x\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=s\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}, \qquad \left|\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right| =\frac{640\cdot16}{\sqrt{16^2-h^2}}.

可見速率隨未給定的 $h$ 改變： $h=0$ 時為 $640$ km/h，而 $h=12$ 時為 $1280$ km/h。故原題資訊不足，\boxed{\text{不能唯一決定飛機速率}}。