題目

Problem

甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。

Find the minimum of the function $f(x,y,z)=xy+2yz+2xz$ subject to the constraint $xyz=108$ . Answer : \underline{\quad(1)\quad}

題目勘誤

官方原題：只給出限制 $xyz=108$ ，要求 $f(x,y,z)=xy+2yz+2xz$ 的最小值，未限制 $x,y,z$ 為正數。

實際上應為：在此原始限制下， $f$ 無下界，故不存在最小值；若另加 $x,y,z>0$ ，才可得到最小值 $108$ 。

本頁保留官方原題，未替換原題條件。

解答

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原題沒有要求三個變數皆為正。令 $t>0$ ，並取

x=y=-t,\qquad z=\frac{108}{t^2}.

這組數滿足 $xyz=108$ ，但

f(-t,-t,108/t^2)=t^2-\frac{432}{t}\longrightarrow-\infty \qquad(t\to0^+).

所以在官方所列條件下， $f$ 沒有最小值。

若補充 $x,y,z>0$ ，才可由 AM-GM 不等式得到 $f\ge108$ ，並在 $(x,y,z)=(6,6,3)$ 取到等號；但這不是原題已給的條件。