微積分福音

107 台聯大微積分(A2) 第 6 題

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107學年度 · 107微積分A2 · 第 6 題

題目

Problem

甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。

Let $z=f(x,y)=\ln(xy)^{1/2}$ . Find the approximate change in $z$ when the point changes from $(5,10)$ to $(5.03,9.96)$ . Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

思路

展開

用全微分 $\mathrm{d}z=f_x\,\mathrm{d}x+f_y\,\mathrm{d}y$ 近似函數值的改變量。

答題過程

展開

z=\ln(xy)^{1/2}=\frac12\ln(xy), \qquad z_x=\frac1{2x},\quad z_y=\frac1{2y}.

從 $(5,10)$ 到 $(5.03,9.96)$ 時，

\mathrm{d}x=0.03,\qquad \mathrm{d}y=-0.04.

所以

\begin{align*} \mathrm{d}z =&\,\frac1{2(5)}(0.03)+\frac1{2(10)}(-0.04)\\[4mm] =&\,0.001. \end{align*}

故 $z$ 的近似改變量為 $\boxed{0.001}$ 。